Французский математик Фурье (1768-1830) и его последователи доказали, что любую периодическую функцию в случае ее соответствия некоторым математическим условиям можно разложить в ряд (сумму) косинусов и синусов с некоторыми коэффициентами, называемый тригонометрическим рядом Фурье. Это значит, что периодическая на интервале [—L,L] функция f(x), задаваемая некоторым аналитическим выражением (пусть даже очень сложным), может быть по-другому записана в форме конечной или бесконечной суммы вида:

a0/2 + [a1*cos(pi*x/L) + b1*sin(pi*x/L)] + [a2*cos(2pi*x/L)+b2*sin(2pi*x/L)] +...+ [an*cos(n*pi*x/L) + bn*sin(n*pi*x/L)] +...,

где аk, bk — так называемые коэффициенты Фурье, рассчитываемые по некоторой формуле. Иначе говоря, при некоторых условиях использование ряда Фурье функции f(x) эквивалентно использованию самой функции f(x). При этом, несмотря на то, что ряд Фурье может быть бесконечным, предлагаемая им форма записи оказывается очень удобной при проведении анализа и обработки (о том, что это дает применительно к звуковым сигналам, мы еще поговорим).

Обратим внимание, что если коэффициенты аk, bk — некоторые числа, рассчитываемые по специальной формуле, то единственным изменяющимся коэффициентом при х внутри косинусов и синусов является целое число k (k имеет значения 1, 2, 3 и т.д.). Это означает, что ряд Фурье функции f(x) можно представить графически, отложив по оси абсцисс значение k, а по оси ординат — величины коэффициентов аk и bk.

Рассмотрим в качестве примера функцию f(x)=sin 13 (x)

Это периодическая функция с периодом 2pi. Разложение этой функции в ряд Фурье дает следующий результат:

f(x)~0.418*sin(x) + 0*sin(2x) + (-0,314) sin(3x) + 0*sin(4x) + 0,174*sin(5x) + ...

То есть коэффициенты аk равны нулю для всех k, а bк не равны нулю только для нечетных k.

Так можно поступить с периодическими функциями. Однако и на практике, и в теории далеко не все функции периодические. Чтобы получить возможность раскладывать непериодическую функцию f(x) в ряд Фурье, можно воспользоваться "хитростью". Как правило, при рассмотрении некоторой сложной непериодической функции нас не интересуют ее значения на всей области определения; нам достаточно рассматривать функцию лишь на определенном конечном интервале [x1, x2] для некоторых x1 и x2. В этом случае функцию можно рассматривать как периодическую, с периодом Т = x2- x1. Для ее разложения в ряд Фурье на интервале [x1, x2] мы можем искусственно представить f(x) в виде некоторой периодической функции f'(x), полученной путем "зацикливания" значений функции f(x) из рассматриваемого интервала. После этой процедуры непериодическая функция f(x) превращается в периодическую f'(x), которая может быть разложена в ряд Фурье.